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虫喰い算大会(むしくいざんたいかい)

作者:未知 文章来源:青空文库 点击数 更新时间:2006-8-26 6:38:03 文章录入:贯通日本语 责任编辑:贯通日本语



    □3
  ____
□3)949
   □□
  ――――
   □□9
   □□9
  ――――
     0

 さて次に、答の十位の数は、3よりも少い2か1かのどっちかであることに気がつく。なぜなれば、除数と答の一位をかけた計算は、上から五段目であって、三桁の数□□9 だ。ところが、上から三段目の、答の十位をかけた計算は□□となっていて二桁の数である。すなわち、答の十位の数は2か1かのどっちかに制限される。これで余程探求の範囲は狭くなった。
 一方、除数の十位の□は、4か、4よりも大きい数でなければならぬことに気がつく。なぜなれば、上から五段目のところで、除数の□3に、答の一位の3をかけると、一位は9となる。次に除数の十位に答の一位の3をかけたものは、百位と十位との二桁ものとなるが、これは除数の十位の数が3以下では二桁とならない(つまり、33が9や23が6では二桁とならない。どうしても34の12[#「12」は縦中横]以上でなければならぬ)。そこで除数の十位の穴は、4か、4よりも大きい数だと分る。
 そこで今度はもう一度、答の十位の計算、すなわち上から三段目へ戻る。前に述べたように、答の十位は1か2かの何れかである。ところが、これが2であっては、今しがた導き出したところの、「除数の十位の数は4以上」という関係がぶちこわされる。仮りにそれが最低数の4とすれば、答の十位の2をかけると 43×2=86 となるから、被除数の94[#「94」は縦中横]からこれを引くと、残りは8となって一桁となる。すなわち上から第四段目は□□9 とはならずして□9 の形となり、桁があわぬ。従って答の十位は1か2かということであったが、これは1であらねばならぬと確定する。さあこれで、大体解けた。今まで解けたところを穴に入れて書いてみると上のとおりになる。

    13
  ____
□3)949
   □3
  ――――
   □19
   □19
  ――――
     0

 これでみるとおり、答の十位が1と決まれば、第三段目の右端は当然3である。するとこの下は、4から3を引くのだから1であり、その1の下も、第六段目が0だから、同じく1であらねばならぬわけである。
 第五段目に於いて、十位に1が出る計算で、3の倍数である謎の数字(すなわち除数の十位の数)は何か。順番はこの問題にうつる。これはすぐ分る。それは7である。37の21[#「21」は縦中横]であるからだ。よって除数の十位の数は、7だと分る。これで重要なところはすべて解けたわけである。念のために 73×13 で、果してこの計算がうまく合うかどうかやってみる。すると上に示すように十分満足することが分る。推理力万歳! である。

    13
  ____
73)949
   73
  ――――
   219
   219
  ――――
     0

 やさしい問題の解き方はこのぐらいにして、次はもっとむつかしいものの解き方を二つ三つごらんに入れることにする。


  3 高級な虫喰い算とその解き方


 高級だといっても、解き方の根本に別にかわったことがあるわけではない。ただむつかしい点は――従って大いに興味のある点は――どこに手懸りが隠されているか、どこから解き始めたら一番うまく行くかというところにある。すぐれた宝玉のような問題は、このように鍵の隠し場所が極めて意外なところにあり、そしてそれにぶつかって解くと、あとは全部ががらがらがらと崩れるように解けて行くようなのを指していうのだ。
 それを解きにかかる皆さんは、名探偵の明智小五郎か、シャーロック・ホームズか、それともファイロバンズか、エラリー・クイーンか、とにかくせいぜい智能をふるわれたい。
 そこで例題の解説にうつる。

【例題六】 これは「覆面算」である。いろいろなアルファベットが並んでいるが、これはもちろん二十六種の文字が並べてあるわけではなく、皆で十種しかない。つまりCMLQTPAINSの十種である。この十種の覆面者のどれが1234567890のどれであるかを、これから推理でもって探偵しようというわけである。

      QCN
   ______
CML)QTPAI
    QIS
    ―――――
     QPA
     CML
     ――――
     CCCI
     CSNS
     ――――
       MI

 ちょいと見たところでは、何が何だか見当がつかず、まるで突然火星国へ不時着したような当惑を感じ、取りつく島もなさそうに思われる。しかし、いつもいうとおりに、名探偵らしくじっくりこれを観察していれば、やがて秘密の扉を開くべきすばらしき鍵を発見することができ、思わずにっこり微笑まるることであろう。
 さて、いよいよこの覆面算の探偵に移ろう。

 名探偵が、第一に目をつけたところは、上から五段目の CML である。これは除数である CML と全く同じではないか。大発見、大発見!
 然らば、この五段目の計算を導くに至った答の十位の数Cは1であらねばならぬ。そうですねえ。すなわち計算の中のCをことごとく1に書き改めて、上の如くに整理をする。

      Q1N
   ______
1ML)QTPAI
    QIS
    ―――――
     QPA
     1ML
     ――――
     111I
     1SNS
     ――――
       MI

 さあ、こんどはどこに第二の鍵を発見すべきであろうか。うん、これだ。三段目の右端のSが曲者である。このSの上はPである。またこのSの下も同じPである。PからSを引いて答はPだ。P-S=P。これは変な関係だ。いや変ではない。こういう関係はSが0のときのみに成立つ。これでいい。第二の鍵はこのSが0であることだった。
 そこで運算書の中のSを0として再び書き改める。これで大分明るくなった。
 いや、まだ安心するのは早い。前途にどんな難関が横たわっているか分らない。

      Q1N
   ______
1ML)QTPAI
    QI0
    ―――――
     QPA
     1ML
     ――――
     111I
     10N0
     ――――
       MI

 いよいよ第三の鍵の発見に掛る。さあ、それはどこにあるか。今度はなかなか手ごわい。ほほう、これは気がつかなかった。これらしいぞ、第三の鍵は!
 今求めた三段目の「Sは0なり」のところであるが、ここに0を書き入れたについては、除数の一位の数のLと答の百位の数のQをかけた結果である。つまりLとQとかけて、その答の一位が0となったのである。そういう場合は、LとQとのいずれかが5であり、他の数が偶数でなければならぬ。(誰です、LかQが0の場合でもいいじゃないかといった方は……。0は既に出ていますよ。Sは0であると、さっき導き出したばかりです)――さて、これだけでは決定的でないが、もう一つ目をつけるべきところがある。それは七段目の右端の数字も、同じく0であることだ。この0は、除数のLと、答の一位の数のNとを掛け合わせた結果出てきたのである。するとさっきと同じ理窟から、LとNとのどっちかが5であり、偶数であらねばならぬこととなる。
 そこでLが5であることが確定される。なぜなれば、前にはLとQのいずれかが5か偶数かとあり、今またLとNのいずれかが5か偶数かとなったからには、この両条件を共通に満足すべき答としては、Lが5である場合しかない(また聞えましたよ、誰ですか。Lが偶数であってもいいではないかといいましたね。とんでもないことです。Lが偶数なら、初めの条件によりQは5となります。すると後の条件のとき、つまりLとNのいずれかが5であり偶数であるというときには困ってしまうではありませんか)。とにかくこうしてLは5、そしてQとNとは偶数だということが分った。早速これを書き入れると上のようになる。

      Q1N
   ______
1M5)QTPAI
    QI0
    ―――――
     QPA
     1M5
     ――――
     111I
     10N0
     ――――
       MI

 このへんで貴君が「虫喰い算て面白いなあ」と心臓をどきどきされたとしたら、それは既に虫喰い算の「鬼」が貴君にのり移ったことの証拠である。一旦この「鬼」にとりつかれたら、お気の毒ながら(?)、貴君はもう一生涯、虫喰い算のファンとして離れられなくなる。決しておどかすわけではないが、事実がそうだから仕方がない。
 余計な話はやめて、次へ進む。第四の鍵はどこにあるか。四段目のQであるが、この下に1がある。その下にも1がある。するとQから1を引いて1が出たわけだ。するとQは1と1との和の2であるか、それともQは下位へ1を貸してあって、本当は3であるかもしれないと臆測される。つまりQは2又は3であらねばならぬと。ところが、どっこい、Qは2であらねばならぬ。3であることは許されない。なぜならば、QとNとは共に偶数なりと、さっき決定したばかりだから。

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